Dalam fisika sekolah menengah, kita belajar tentang hukum gerak kedua Newton, yakni gaya sama dengan percepatan kali massa. Melalui contoh sederhana gaya tunggal, katakanlah, gravitasi, yang bekerja pada suatu benda bermassa.
Dalam skenario ideal di mana satu-satunya variabel independen adalah waktu, hukum kedua secara efektif adalah "persamaan diferensial biasa", yang dapat diselesaikan seseorang untuk menghitung posisi atau kecepatan objek pada saat tertentu.
Tetapi dalam situasi yang lebih khusus, banyak gaya bekerja pada banyak bagian yang bergerak dari sistem yang rumit dari waktu ke waktu. Untuk memodelkan pesawat jet penumpang di udara, gelombang seismik yang berdesir di seluruh Bumi, atau penyebaran penyakit melalui suatu populasi, belum lagi interaksi gaya dan partikel fundamental, para insinyur, ilmuwan, dan ahli matematika menggunakan "persamaan diferensial parsial" (PDE) yang dapat menggambarkan fenomena kompleks yang melibatkan banyak variabel independen.
Masalahnya adalah bahwa persamaan diferensial parsial, yang esensial dan ada di mana-mana seperti dalam sains dan teknik sangat sulit dipecahkan, jika bisa diselesaikan sama sekali.
Metode perkiraan dapat digunakan untuk menyelesaikannya, tetapi meskipun demikian, dibutuhkan jutaan jam CPU untuk menyelesaikan PDE yang rumit.
Saat masalah yang kita tangani menjadi semakin kompleks, dari merancang mesin roket yang lebih baik hingga pemodelan perubahan iklim, kita memerlukan cara yang lebih baik dan lebih efisien untuk menyelesaikan persamaan ini.
Sekarang para peneliti telah membangun jaringan saraf tiruan jenis baru yang dapat memperkirakan solusi untuk persamaan diferensial parsial lipat lebih cepat daripada pemecah PDE tradisional. Dan setelah dilatih, jaringan saraf baru tidak hanya dapat menyelesaikan satu PDE tetapi juga seluruhnya tanpa pelatihan ulang.
Untuk mencapai hasil ini, para ilmuwan menggunakan jaringan saraf dalam, wajah modern dari kecerdasan buatan, ke wilayah baru. Biasanya, jaringan saraf memetakan, atau mengonversi data, dari satu ruang berdimensi hingga (katakanlah, nilai piksel gambar) ke ruang berdimensi hingga lainnya (katakanlah, angka yang mengklasifikasikan gambar, seperti 1 untuk kucing dan 2 untuk anjing). Tapi jaring dalam yang baru melakukan sesuatu yang sangat berbeda.
"Memetakan antara ruang berdimensi tak hingga dan ruang berdimensi tak hingga," kata matematikawan Siddhartha Mishra dari Institut Teknologi Federal Swiss Zurich, yang tidak ikut mendesain jaring dalam tetapi telah menganalisisnya secara matematis.
Teknik seperti itu, tanpa diragukan lagi, akan mempercepat banyak model yang melibatkan PDE.
"Pada akhirnya, tujuan kami mengganti pemecah tradisional yang sangat mahal yang sangat lambat," kata ilmuwan komputer Anima Anandkumar dari Institut Teknologi California, anggota salah satu tim yang mengembangkan metode baru ini.
Tetapi pendekatan baru melakukan lebih dari sekedar mempercepat proses. Untuk beberapa fenomena, peneliti hanya memiliki data dan sedikit ide tentang bagaimana menghasilkan PDE yang relevan untuk memodelkannya.
"Ada banyak, banyak masalah di mana fisika agak tidak stabil. Itu tidak didefinisikan dengan baik, "kata Mishra.
"Jadi dalam masalah itu, Anda seperti berjalan secara buta," ujarnya.
Dalam kasus seperti itu, jaringan saraf baru, setelah dilatih tentang data, hampir pasti menjadi satu-satunya cara untuk memecahkan masalah tersebut.
Persamaan yang Cukup Dramatis
Apa yang membuat PDE berguna, dan sangat sulit dipecahkan, adalah kompleksitasnya, yang memungkinkan mereka untuk memodelkan semua jenis fenomena. Contoh, perspektif dua dimensi dari suatu fluida yang mengalir di sekitar suatu objek, seperti udara yang bergerak di sekitar sayap pesawat terbang.
Pemodel ingin mengetahui kecepatan dan tekanan fluida di setiap titik dalam ruang (juga disebut medan aliran) dan pada waktu yang berbeda. PDE spesifik, yang dikenal sebagai persamaan Navier-Stokes, memodelkan aliran fluida tersebut, dengan mempertimbangkan hukum kekekalan energi, massa, dan momentum.
Pecahkan masalah PDE dan Anda mendapatkan rumus yang menjelaskan sesuatu tentang sistem. Dalam kasus ini, solusinya dapat berupa rumus yang memungkinkan Anda menghitung bidang aliran pada waktu yang berbeda.
Beberapa PDE dapat diselesaikan secara analitik, dengan menggunakan alat bantu matematika, jika Anda memiliki pengetahuan yang cukup tentang kondisi awal dan batas, seperti nilai bidang aliran pada waktu t = 0, dan pada tepi wilayah yang diteliti.
Tetapi seringkali PDE begitu kompleks sehingga solusi analitik universal tidak mungkin dilakukan. Hal ini terutama berlaku untuk bentuk paling umum dari persamaan Navier-Stokes: Matematikawan belum membuktikan apakah ada solusi unik, apalagi benar-benar menemukannya secara analitik.
Dalam kasus ini, pemodel beralih ke metode numerik. Ini melibatkan pengubahan PDE menjadi sekumpulan persamaan aljabar yang dapat diatur yang diasumsikan berlaku pada peningkatan kecil ruang dan waktu.
Untuk contoh aliran fluida 2D kami, perhitungan dimulai dengan beberapa kondisi awal dan batas dan dilanjutkan langkah demi langkah, beringsut sepanjang sumbu x- dan y, menghitung kecepatan dan tekanan fluida di berbagai titik. Hasilnya adalah peta 2D bidang aliran, katakanlah, detik demi detik, bukan rumus.
Memecahkan PDE yang kompleks secara numerik dapat memakan waktu berbulan-bulan menggunakan superkomputer. Dan jika Anda mengubah kondisi awal atau batas atau geometri dari sistem yang sedang dipelajari (seperti desain sayap), Anda harus memulai dari awal.
Juga, semakin kecil peningkatan yang Anda gunakan atau semakin halus mesh, seperti yang dikatakan para peneliti, semakin tinggi resolusi model, dan semakin lama waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikannya secara numerik.
"Terlepas dari biayanya, untuk setiap bidang ilmiah, trennya mengarah pada resolusi yang lebih tinggi dan dorongan tanpa akhir ini untuk menghitung berbagai hal pada domain yang lebih besar," kata Zachary Ross, seismolog di Caltech yang tidak terlibat dengan pekerjaan baru ini.
"Selalu berlomba untuk melakukan hal terbesar berikutnya," terangnya.
Jaringan Neural Bergabung dengan Fray
Baru-baru ini, jaringan saraf dalam telah mengubah sifat ras tersebut, menawarkan cara untuk menyelesaikan PDE tanpa menggunakan metode analitik atau numerik. Elemen dasar jaring dalam adalah neuron buatan, yang menerima serangkaian masukan, mengalikan masing-masing dengan bobot, dan kemudian menjumlahkan hasilnya. Neuron kemudian menentukan keluaran berdasarkan total, katakanlah, nol jika jumlahnya di bawah beberapa ambang batas, dan jumlah itu sendiri sebaliknya. Jaringan neural modern memiliki satu lapisan masukan, satu lapisan keluaran, dan setidaknya satu lapisan "tersembunyi" yang diapit di antaranya. Jaringan dengan hanya satu lapisan tersembunyi dalam bahasa sehari-hari disebut jaringan "dangkal" jika tidak, mereka disebut jaringan neural dalam.
Secara matematis, masukan ke jaringan saraf semacam itu adalah vektor, sekumpulan angka, dan keluarannya adalah vektor lain. Jika ada fungsi yang memetakan sekumpulan vektor masukan ke sekumpulan vektor keluaran, jaringan dapat dilatih untuk mempelajari pemetaan itu.
"Jaringan saraf bersifat universal di ruang itu. Fungsi apa pun antara dua ruang berdimensi hingga dapat didekati oleh jaringan neural," kata Mishra.
Pada 2016, para peneliti mempelajari seberapa dalam jaringan saraf yang biasanya digunakan untuk pengenalan gambar dapat digunakan untuk menyelesaikan PDE.
Pertama, para peneliti menghasilkan data untuk melatih jaring dalam, seorang pemecah numerik menghitung medan kecepatan untuk fluida yang mengalir di atas benda sederhana dengan bentuk dasar yang berbeda (segitiga, segiempat, dan seterusnya) dengan ukuran dan orientasi berbeda, tersebar di xy pesawat.
Artinya, kumpulan data pelatihan terdiri dari sejumlah gambar: gambar 2D yang menyandikan informasi tentang geometri objek dan kondisi awal fluida yang berfungsi sebagai masukan, dan cuplikan 2D dari bidang kecepatan yang sesuai sebagai keluaran. SB/quantamagazine/P-4
